Se la funzione f(x) per x che tende ad x₀ tende ad l diverso da zero allora esiste un intorno completo I di x₀ escluso al più x₀, in cui la funzione assume lo stesso segno di l.

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cui

se l<0   l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0

se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0

Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x₀

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Categoria: Teoremi sui limiti

Pubblicato: 16 Luglio 2015

Visite: 19071

• Teorema di unicità del limite
• Teorema di permanenza del segno
• Teorema del confronto
• Teorema di unicità del limite

Teorema di unicità del limite

Se per x che tende a x₀ la funzione f(x) ha per limite l , allora tale limite è unico.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che la funzione abbia due limiti l1 ed l2. Allora se scelgo 

non possono verificarsi contemporaneamente 

 

 

 

nel disegno sottostante si è scelto ε minore si |l₁-l₂|/2 si vede che i due intervalli (l1-ε,l1+ε) e  (l2-ε,l2+ε) sono disgiunti e quindi non possono verificarsi contemporaneamente le due relazioni di sopra

Teorema di permanenza del segno

Se la funzione f(x) per x che tende a x₀ tende ad un valore l  da zero allora esiste un intorno completo di x₀ escluso al pi x₀, in cui la funzione assume lo stesso valore di l .

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cuise l<0   l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x₀

 

Teorema del confronto

Se le funzioni g(x) ed h(x) per x che tende ad x₀ tendono allo stesso valore e in un intorno completo di x0 escluso al più x₀, si ha

allora anche la f(x) tende ad l

Dimostrazione:   

poiché fissato ε esiste un intoro di  x₀, in cui  l-ε< g(x)< l+ε e l-ε< h(x)< l+ε  quindi per l'ipotesi  l-ε< g(x)<f(x)<h(x)< l+ε di conseguenza f(x) tende ad l

Teorema di unicità del limite

 

Supponiamo che 

e

 

allora

 

 

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

• uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
• tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
• un  limite vale no dei due vale +∞ e l'altro -∞ si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} +∞-∞

Dimostrazione : in allestimento

Il tuo testo...

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Categoria: Teoremi sui limiti

Pubblicato: 16 Ottobre 2013

Visite: 32471

Supponiamo che 

e

allora

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

• uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
• tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
• un  limite vale no dei due vale +∞ e l'altro -∞ si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} +∞-∞

Dimostrazione : in allestimento

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Categoria: Teoremi sui limiti

Pubblicato: 17 Luglio 2015

Visite: 11383

Supponiamo che 

e

con l ed m  valori finiti  allora

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

• uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
• tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
•  uno dei due vale zero e l'altro è infinito si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} 0·∞

Dimostrazione : in allestimento

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Categoria: Teoremi sui limiti

Pubblicato: 17 Luglio 2015

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