Disequazioni fratte

Definizione

Definizione: una disequazione si dice fratta se contiene l'incognita al denominatore

Esempio:

$\frac{x+1}{x-1}>\frac{3}{4}$

Risoluzione

Per risolverlo occorre seguire i seguenti passaggi:

1) trasportare tutti i termini al primo membro;

2) scrivere tutto su un unico denominatore facendo il M.C.D.

3) studiare il segno del numeratore ed il denominatore imponendoli maggiori di zero

4) confrontare i segni del numeratore e enominatore

5) le soluzioni vanno ricercate dove i segni corrispondono al verso della disequazione.

Esercizio

$\frac{x+1}{x-1}>\frac{3}{4}$

si porta tutto al primo membro e si cerca M.C.D.

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{3}{4}>0\Rightarrow \frac{4(x+1)-3(x-1)}{4(x-1)}>0$

si eseguono i calcoli al numeratore

$\frac{4x+4-2x+3}{4(x-1)}>0\Rightarrow \frac{2x+7}{4(x-1)}>0$

ora si studia il segno del numeratore e denominatore imponendoli maggiori di zero

$2x+7>0 \; \; \;e \; \; \; 4(x-1)>0$

$2x>-7 \; \; \;e \; \; \; x>1$

$x>-\frac{7}{2} \; \; \;e \; \; \; x>1$

riportiamo il grafico con i segni del numeratore , del denominatore, e della frazione

grafico disequazione

nella linea in basso è riportato il segno della frazione, siccome il verso della disequazione è maggiore dobbiamo cercare gli intervalli in cui il segno è +.

Pertanto le soluzioni sono x

$x<-\frac{7}{2}\; \; \vee \; \; \; x>1$

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