Teorema: un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti

Ipotesi    =>     Tesi

Dimostrazione: consideriamo la bisettrice AH, i due triangoli ABH e AHC hanno due lati congruenti e l'angolo fa essi compresi quindi per il primo criterio di  congruenza sono congruenti.

Pertanto sono congruenti anche gli angoli in B ed in C, come  volevasi dimostrare.

Dal teorema si deduce che   quindi H è il punto medio di BC e quindi la bisettrice è anche mediana. 

Nei due triangoli AHB e AHC gli angoli in H sono congruenti e supplementari quindi sono retti, pertanto AH è anche altezza.

Un teorema inverso è quello che si ottiene dal teorema diretto scambiando l'ipotesi con la tesi.

In quest caso vale il è vero il teorema inverso.

Pertanto si ha il seguente teorema

Teorema inverso: un triangolo che ha gli angoli alla base congurenti è isoscele

Ipotesi    =>     Tesi

Prolunghiamo i lati AB e AC di due segmenti congruenti . Poichè per ipotesi , gli angoli

e  sono congruenti in quanto supplementari agli angoli alla base.

Quindi i triangoli FBC e HCB sono congruenti per il primo   criterio poichè hanno congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso e il lato ad esso adiacente.

l Pertanto e -.

Di conseguenza sono congruenti anche i triangoli ACF ABH per il secondo criterio, Quindi  essendo lati corrispondenti sdei due triangoli congruenti. I lati AB e BC sono conruenti perche differenzè di lati congruenti.