Limite 1
=1
Dalla figura osserviamo che 
poiche il segmento PH è minore dell'arco x . Dividendo i termini per sen x si ottiene
semplificando
invertendo i termini della disuguaglianza
Sia il primo che il terzo termine tendono a 1 , pertanto si ha
=1
Limite 2
Si definiscono le due successioni
La successione an è crescente, per mostrarlo si scrive nella forma
quindi
per la disuguaglianza di Bernoulli (1+x)n>1+nx al numeratore
Analogamente si mostra che bn è decrescente.
an<bn infatti
poichè b1=4 e bn è decrescente an è sicuramente minore di 4, quindi essendo limitata superiormente e crescente avrà sicuramente un limite a cui si attribuisce il simbolo e ed è chiamato numero di Nepero, ha il valore pari a 2,7188.
Si osservi che anche la successione bn tende ad e infatti
Dimostriamo ora che
supponiamo che n=[x] siala parte intera di x
vale la seguente disuguaglianza
La prima parte della disuguaglianza deriva dal fatto che [x]+1>x e si trova al denominatore, mentre la seconda scaturisce dal fatto che [x]<x sempre al denminatore, menrtre l'esponente [x]+1>x e la base è maggiore di uno.
il primo membro della disuguaglianza tende ad e infatti il numeratore tende ad e mentre il denominatore tende a 1, il terzo membrio è proprio
che tende ad e
Pertanto per il teorema del confronto
Limite 3
Per dimostrare questo limite basta porre y=1/x, pertanto quando x→0 y→∞ si ottiene proprio il limite che definisce il numero e
Limite 4
Basta fare il loga della funzione del limite 3
Limite 5
poniamo
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..
quando x→0 allora y→0
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pertanto
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