Mentre oggi le parole di assioma e postulato sono dei sinonimi, Euclide nei suoi Elementi individua cinque assiomi che riguardano nozioni comuni e cinque postulati che riguardano la geometria
Gli assiomi sono proprietà che non devono essere dimostrate, essi esprimono le relazioni esistenti fra gli enti primitivi.
Essi devono essere:
- compatibili, cioè non devono contraddirsi l'un con l'altro
- indipendenti, cioè le proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro.
- possedere il requisito della completezza, ossia tutti i teoremi devono essere dedotti da essi.
Gli Assiomi della geometria euclidea si possono raggruppare in:
Assiomi di appartenenza
Assiomi di appartenenza
Riguardano le relazioni fra punti, rette e piani.
- Ad ogni coppia di punti passa una ed una sola retta;
- per ogni retta del piano esistono almeno due punti A e B che le appartiene ed almeno un punto C che non le appartiene;
- per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano;
- se una retta ha in comune con un piano due punti, allora tutti i punti della retta appartengono al piano:
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