Limite 2

Si definiscono le due successioni

La successione an è crescente, per mostrarlo si scrive nella forma

quindi 

per la disuguaglianza di Bernoulli  (1+x)n>1+nx   al numeratore

Analogamente si mostra che bn è decrescente.

an<bn infatti 

poichè b1=4 e bn è decrescente an è sicuramente minore di 4, quindi essendo limitata superiormente e crescente avrà sicuramente un limite a cui si attribuisce il simbolo e ed è chiamato numero di Nepero, ha il valore pari a 2,7188.

Si osservi che anche la successione bn tende ad e infatti

Dimostriamo ora che 

supponiamo che n=[x] siala parte intera di x

vale la seguente disuguaglianza

La prima parte della disuguaglianza deriva dal fatto che [x]+1>x e si trova al denominatore, mentre la seconda scaturisce dal fatto che [x]<x sempre al denminatore, menrtre l'esponente [x]+1>x e la base è maggiore di uno.

il primo membro della disuguaglianza tende ad e infatti il numeratore tende ad e mentre il denominatore tende a 1, il terzo membrio è proprio che tende ad e

Pertanto per il teorema del confronto  

Limite 3

Per dimostrare questo limite basta porre y=1/x, pertanto quando x→0 y→∞ si ottiene proprio il limite che definisce il numero e

Limite 4

Basta fare il log_a della funzione del limite 3

Limite 5

poniamo

..

quando x→0 allora y→0

pertanto