Sia f(x) continua in x₀, con y₀=f(x₀) e g(y) continua allora la funzione composta g[f(x)] è continua in x₀

Dimostrazione:
Siccome la funzione g(y) è continua in y₀ allora comunque sia ε esiste un δ dipendente da ε tale che

|g(y)-g(y₀)|<ε per tutte le y tali che |y-y₀|<δ, ma anche
ossia |f(x)-f(x₀)|<δ
ma anche la f(x) è continua in x₀ pertanto esiste γ che dipende da delta tale queste disuguaglianze per tutte le x tali che |x-x₀|<γ
in definitiva per queste x si ha |g[f(x)]-g[f(x₀)]|< ε cioè g[f(x₀)] è il limite, quindi g[f(x)] è continua in x₀