I limiti




Consideriamo il problema di determinare la velocità segnata dal tachimetro di una macchina conoscendo la legge oraria s(t)=0.36t2 nell'istante t=10, pertanto si deve determinare la cosidetta velocità istantanea

Per definizione la velocità media di un corpo è data dal rapporto dello spazio con il tempo impiegato a percorrerlo, cioè

velocità media

tempo t (in sec.)

intervallo (in sec.)

spazio percorso dall'inizio

( in metri)

spazio percorso da 10 sec.

a t (in metri)

velocità in m/s

11.000 1.000 43.560 7.560 7.560
10.500 0.500 39.690 3.690 7.380
10.400 0.400 38.937 2.937 7.344
10.300 0.300 38.192 2.192 7.308
10.200 0.200 37.454 1.454 7.272
10.100 0.100 36.724 0.724 7.236
10.050 0.050 36.361 0.361 7.218
10.040 0.040 36.289 0.289 7.214
10.030 0.030 36.216 0.216 7.211
10.020 0.020 36.144 0.144 7.207
10.010 0.010 36.072 0.072 7.204
10.001 0.001 36.007 0.007 7.200
10.000 0.000 36.000 0.000 =====

 

Dall'esempio si osserva che prendendo t1 sempre più vicino a 10 sec. la velocità si avvicina a 7.2 m/s.

Questo valore coincide con quello che come si vedrà in termini rigorosi costituisce il limite per x tendente a 10 che si indica con la seguente notazione

limite

 Si osserva che quando t si avvicina a 10 secondi la velocità si avvicina a 7.2 m/s.

 ne scaturisce la definizione.

 Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 da destra vale l, in simboli

limite destro e sinistro

se comunque si prende ε>0 esiste un intorno destro I(x0+) cioè un intervallo aperto della forma (x0,x0+δ) del  punto di x0 in modo tale che per ogni x a tale intorno escluso al più il punto x0 si ha:

 

|f(x)-l|<ε

 o in maniera equivalente 

l-ε< f(x)< l+ε

La differenza con la definizione di limite sta nel fatto che l'intorno di x0 in cui

| f(x)-l |<ε  

è un intorno destro e non un intorno completo.

Analoga definizione si dà per il limite sinistro

Definizione.

Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale l, in simboli

limite

se comunque si prende ε>0 esiste un I(x0) completo del punto di accumulazione x0 in modo tale che per ogni x di I(x0) escluso al più il punto x0 si ha:

|f(x)-l |< ε

o in maniera equivalente

l- ε< f(x)< l+ ε 

Osservazione la relazione l- ε< f(x)< l+ ε  rappresenta due disuguaglianze

form1

 

 

Esempio: verifichiamo che

lim1

dobbiamo quindi trovare un intorno completo di 2 in modo tale che per ogni x appartenente a tale intorno si verifica

1-ε< 3x-5< 1+ε

si deve risolvere il sistema formato dalle due disequazioni

form

verificare che fra le soluzioni di tale  sistema vi sia un intorno completo di 2

infatti le soluzioni sono

2 − ε/2 < x < 2 + ε/2

 

Definizione con Geogebra

Definizione: diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale +∞, 

in simboli

 

limite infinito                    

 

se comunque si prende un intorno di +∞, cioè un intervallo del tipo y >M  esiste un'intorno  I(x0) completo di x0, in modo tale che per ogni xє I(x0), escluso al più x0, si ha: f(x)>M.

In altre parole qualunque intorno di +∞ ha come controimmagini un insieme che contiene un intorno completo di  x0, escluso al più xstesso.


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I limiti notevoli sono limiti particolari il cui valore non si ricava immediatamente e che permettono di calcolare altri limiti.