I logaritmi

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I logaritmi

 

Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente.

La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Più in generale si dà la seguente definizione:

Def.Il logaritmo in base a>0  di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.

Tale definizione non avrebbe senso se la base fosse uguale ad uno. Quindi b deve essere diverso da uno.

Essendo a>0 una sua potenza  sarà sempre positiva, pertanto non si può calcolare il logaritmo di un numero minore o ugale a zero. 

Pertanto le seguenti relazioni 

x=logab    e     ax=b

sono equivalenti.

Il numero b deve essere positivo in quanto è uguale ad una potenza con base positiva.

Essendo il logaritmo una operazione inversa della potenza  valgono le due uguaglianze

logaab=b e alogab=b

Si osservi che logaa=1 e loga1=0. qualunque sia il valore di a.

Quando la base è 10 si parla di logaritmo decimale. In questo caso si scrive log b, cioè si sottintende la base 10.

I logaritmi naturali o neperiano è il logaritmo in base e, dove e è uguale a 2,71828... e si scrive lnb.

Devono il loro nome al matematico e fisico scozzese Nepero.

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Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè

loga(b/c)=logab-logacDimostrazione

posto

loga(b/c)=loga(bc-1)

per il logaritmo del prodotto è uguale a     

logab+logac-1

per il logaritmo della potenza    

logab-logac 

c.v.d.

 

 

   

 

 

 

 

 
 

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Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè

loga(b/c)=logab-logacDimostrazione

posto

loga(b/c)=loga(bc-1)

per il logaritmo del prodotto è uguale a     

logab+logac-1

per il logaritmo della potenza    

logab-logac 

c.v.d.


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Il logaritmo della potenza di un numero è uguale dell'esponente di tale potenza per il logaritmo della base

logabx=xlogab

Dimostrazione: posto logab=y   perciò ay=b e   (ay)x=bx  ma (ay)x=ayx  perciò logabx=logaayx =xy essendo y= logab allora logabx=xlogab

  c.v.d.