Le geometrie non euclidee

Immagine di Euclide

I greci per primi spiegarono con ragionamenti le proprietà delle figure geometriche, andando oltre l'intuizione, a differenza degli egizi.

Euclide per primo cercò di mettere ordine alle conoscenze fino ad allora acquisite con gli "Elementi", che costituiscono il punto di partenza per l'insegnamento elementare della geometria.

Gli assiomi o postulati, attribuiscono proprietà, che per la loro evidenza supponiamo essere vere e che caratterizzano gli enti primitivi dandone una definizione esplicita.

Introduzione

Si ottengono diversi tipi di geometria come conseguenza delle scelte fatte sugli assiomi.

All'interno di una stesso tipo di geometria alcune proprietà degli enti primitivi sono tali che assumendo una di esse come assioma le altre risultano come conseguenza e viceversa, si dice in questo caso che gli assiomi sono equivalenti.

Gli assiomi scelti non devono contraddirsi tra loro e non devono essere uno conseguenza logica dell'altro.

Si possono costruire geometrie che non accettano alcuni assiomi della geometria euclidea e per questo sono dette geometrie non euclidee.

La geometria iperbolica

Il punto di partenza che ha determinato la nascita delle geometrie non euclidee è stato il postulato delle parallele.Esso afferma che per un punto A non appartenente ad un retta r passa una ed una sola retta r' parallela alla retta r. Occorre sottolineare che questo postulato, noto anche come quinto postulato, è negli elementi di Euclide espresso in una forma equivalente.Questo postulato non era evidente come gli altri, pertanto molti matematici pensarono di poterlo ricavare dagli altri, ma tutti i tentativi si rivelarono infruttuosi. Finché verso il 1730 i matematici Saccheri e Lambert affrontarono il problema in maniera differente, cioè negarono per assurdo la validità del postulato delle parallele ottenendo tutta una serie di conseguenze molto diverse dai teoremi classici.Per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo non risulterebbe mai uguale ad un angolo piatto.In ogni caso nessuna di queste proposizioni contraddice uno dei teoremi della geometria euclidea che non dipendono da questo postulato.Si è costruito pertanto un sistema logico-formale perfettamente coerente.La negazione del quinto postulato può essere fatta ammettendo uno dei seguenti postulati:

non esiste nessuna parallela per il punto esterno alla retta;esistono più di una retta per il punto esterno.

Una geometria di questo tipo prende il nome di geometria iperbolica di Lobacevskij dal nome del matematico russo che per primo la assiomatizzò

La geometria ellittica

Verso la prima metà del 1800 il matematico B.Riemann costruì un modello di geometria non euclidea sostituendo il V postulato euclideo con il precedente postulato a .Riemann assunse come enti primitivi:

il piano costituito da una qualunque superficie sferica;il punto costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica; la retta costituita da una qualunque circonferenza massima.E' facile verificare che per questo modello valgono i postulati della geometria euclidea ad eccezione del V postulato di Euclide per chè sostituito dal postulato A.Infatti:

Per due punti passa una ed una retta :

Per un punto passano infinite rette , nella geometria di Riemann significa che per due punti (C,D) diametralmente opposti passano infinite circonferenze massime; geometria riemanna 2

Nella geometria di Riemann il V postulato diventa: non esiste alcuna retta r' (circonferenza massima) passante per un punto (coppia di punti (A,B) diametralmente opposti) parallela ad una retta r (circonferenza massima). Infatti due rette (circonferenze massime) si incontrano in un punto ( coppia di punti C e D diametralmente opposti)

Stabiliti un certo numero di assiomi, si deducono mediante ragionamenti altre proprietà.

La scelta degli assiomi è fatto con una certa libertà, fermo restando che devono essere soddisfatti alcuni requisiti.