I radicali

Consideriamo l ’uguaglianza b=an , dove a e n sono noti. Sappiamo che questa è l’operazione di potenza.

Inversamente, nota la potenza b è possibile determinare la base a nel caso si conosca l’esponente n, sia l’esponente n nel caso si conosca la base

Quindi all’operazione di elevamento di potenza corrispondono due operazioni inverse.

Data il numero b e l’esponente n, la ricerca della base a definisce l’operazione di estrazione di radice che si indica con

 

Pertanto la radice ennesima è quel numero che elevato per l'indice della radice è uguale all'esponente consiste nella ricerca di quel numero a che elevato alla n-esima potenza dia b per risultato.

Il numero b si chiama radicando, n indice della radice si chiama radice ennesima di b

 

Video sulla definizione di radicali

 

 

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Il valore di un radicale non muta se si dividono o si moltiplicano il suo indice e l’esponente del suo radicando per uno stesso numero, ossia

 

Da questa proprietà discendono due possibilità:
1) la semplificazione tra indice ed esponente del radicando;
2) riduzione ad uno stesso indice di due o più radicali, calcolando il minimo comune multiplo tra gli indici dei radicali dati (m.c.i.), moltiplicando l’esponente del radicando per il quoziente che si ottiene dividendo il m.c.i. per ciascun indice.

 

Video sulla proprietà invariantiva

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Il prodotto (il rapporto) di radicali si può fare solo quando essi hanno lo stesso indice, in questo caso il prodotto (divisione) è uguale ad un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto (la divisione) dei radicandi, cioè:


a n c n = a c n


Se i radicali non hanno lo stesso indice si sostituiscono con due radicali equivalenti che abbiano lo stesso indice applicando la proprietà invariantiva.
Per indice si prende il minimo comune indice (m.c.i) di ciascuna radice si ottiene moltiplicando il vecchio esponente per il quoziente tra il m.c.i ed il vecchio indice.
In questo modo tutte le radici hanno lo stesso indice.
Quindi basta moltiplicare i radicandi

Esempio
a 3 4 c 5 6 = a 3 3 12 c 5 2 12 = a 9 c 10 12

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In certe situazioni può essere utile trasportare un fattore dentro il segno di radice.

Tale fattore si può trasportare sotto il segno di radice purchè si moltiplichi il suo esponente per l’indice:

 

trasporto dentro radice

Esempio: 

esempio trasporto dentro radice

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In generale dato il radicale

traspfuo1

se m>n, sia q il quoziente della divisione di m con n , ed r il resto allora

m=n·q+r,

pertanto

traspfuoEsempio:

traspfuoese

Si osserva che è possibile trasportare un fattore solo se il suo esponente è maggiore o uguale l’indice della radice, in questo caso l’esponente del fattore che va fuori della radice è uguale al quoziente della divisione tra esponente e indice, mentre l’esponente del fattore che resta dentro la radice è uguale al resto. 

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Due o più radicali si dicono simili, quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando, e differiscono eventualmente, solo per il fattore che li moltiplica (coefficiente del radicale).
Pertanto la prima cosa da fare è trasportare, se possibile, i fattori fuori dalla radice.

Quindi

 radsim

 

La somma algebrica di due radicali simili è un radicale simile ai dati ed ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Esempi:

somma radicali