Disequazioni

Supponiamo di dover risolvere la disequazione di secondo grado ax2+bx+c <0,

Se il trinomio ax2+bx+c possiede zeri distinti se il D>0 . In questo caso, indicato con x1 e x2 tali zeri il trinomio si scompone come

a(x-x1)(x-x2)

pertanto per risolvere una disequazione si deve studiare il segno del trinomio, per fare ciò occorre confrontare i segni dei tre fattori a, x-x1,x-x2 

Il segno di x-x1 dipende dal valore di x, e si studia imponendo x-x1>0, quindi questo fattore è positivo per x>x1, negativo in caso contrario.

Stesso ragionamento per x-x2.

Il segno del prodotto si studia mediante un grafico che riporta i segni dei singoli fattori

   a>0          a<0                
segno 1            diseq2

Le soluzioni vanno ricercate negli intervalli in cui il segno corrisponde la verso della disequazione, 

Per esempio se a>0 ed il verso è maggiore le soluzioi sono per valori esterni, cioè x<x1 oppure x>x2.

 Se D<0 . Il segno del trinomio è lo stesso del coefficiente a del termine di secondo grado, pertanto se a e il verso della disequazione sono concordi la disequazione è sempre verificata, mai se sono discordi.

Le soluzioni che si  che si ottengono naturalmente sono le stesse xhe si ottengono usando il metodo grafico.

Supponiamo di dover risolvere la disequazione di secondo grado ax2+bx+c <0,

Si considera la parabola y=ax2+bx+c , essendo il verso della disequazione minore, la ricerca delle soluzioni è equivalente a trovare sull'asse ascisse, quelle x per i quali le corrispondenti ordinate y=ax2+bx+c dei punti della parabola sono negative. Analoghe considerazioni si fanno se il verso è maggiore.

 

Occorre quindi rappresentare, non necessariamente in maniera precisa la parabola y=ax2+bx+c

 Le caratteristiche fondamentali che bisogna individuare sono due:

  • la concavità della parabola, che si determina con il segno del coefficiente a del termine di secondo grado.
    • è verso l'alto se a>0;
    • versoil basso se a<0;
  • l'esistenza di eventuali intersezioni con gli assi.
    • due intersezioni distinte se Δ>0;
    • nessuna soluzione se Δ<0;
    • due soluzioni coincidenti se Δ=0.

 

Per individuare le soluzioni della disequazioe occorre disegnare la parabola sulla base delle precedenti caratteristiche.

Le soluzioni corrispondono ai valori di x dei punti le cui ordinate hanno un segno che coincide col verso della disequazione.

La seguente tabella ci permette di distinguere i vari casi.

Esercizio 1

 

     verso della disequazione--------------->

>

<

 D>0 a>0   parab7

soluzioni per valori esterni

x<x1 ν  x>x2  

soluzioni per valori esterni

xx1 ν  xx2  

 soluzioni per valori interni

x1<x<x2

soluzioni per valori interni

x1xx2

D>0  a<0   parab6  soluzioni per valori interni

x1<x<x2 

 soluzioni per valori interni

x1<x<x2

soluzioni per valori esterni

x<x1 ν  x>x2 

soluzioni per valori esterni

x≤x1 ν  x≥x2  

 D=0  a>0  delta uguale  x≠x1  sempre verificata  mai verificata x=x1
 D=0 a<0   delta ugaua   mai verificata  x=x1   x≠x1   sempre verificata
D<0 a>0 parab5  sempre verificata  sempre verificata  mai verificata  mai verificata
D<0 a<0 delta minore   mai verificata   mai verificata  sempre verificata  sempre verificata

 

 

 

 Metodo grafico con geogebra

 

 

 

Per risolvere un disequazione di grado superiore al secondo grado bisogna seguire questi passaggi:

  1. occorre portare tutto al primo membro;
  2. scomporre i polinomio;
  3. studuiare il segno du ciascun fattore di primo o secondo grado imponendoli maggiuori di zero:
  4. riportare i segni di singoli fattori;
  5. utilizzando la regola del prodotto dei segni si stabilisce del polinomio nei vari intervalli;
  6. le soluzioni vanno ricercati in quegli intervalli il cui segno crrisponde al verso.

 

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Per risolvere una disequazione di secondo grado occorre prima di tutto scriverla a forma normale ossia nella forma  

ax2+bx+c < 0

dove il verso può essere anche un altro.

 A questo punto si può seguire uno dei seguenti metodi.