L'equazione generica di una circonferenza è
x2+y2+ax+by+c=0
I termini di secondo grado compaiono sempre, mentre gli altri possono mancare, possono verificarsi i seguenti casi:
I punti di itersezione fra retta e circonferenza si trovano risolvendo un sistema di secondo grado.
Si isola un incognita nell'equazione di primo grado, e si sostituisce in quella di secondo grado.
Questo può avere:
Per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna, non è necessario trovare le eventuali intersezioni, è sufficiente calcolare la distanza della retta da centro della circonferenza.
La retta è tangente se la sua distanza dal centro è uguale al raggio, esterna se maggiore di zero, secante se è minore di zero.
La tangente ad una circonferenza in un punto P(x0;y0) è quella retta del fascio proprio passante per il punto dato che ha due punti in comune coincidenti.
Ciascuna delle rette del fascio differisce dal coefficiente angolare, che quindi è l'incognita da determinare.
Una volta determinato m, per trovare l'equazione della tangente basta applicare la formula dell'equazione di una retta noto un punto ed il suo coefficiente angolare
Ci sono diversi metodi per determinare m :
L'equazione di una circonferenza dipende dai tre parametri a,b,c.
Infatti una circonferenza può essere individuata in modo univoco avendo tre punti non allineati.
Pertanto servono tre condizioni indipendenti per ricavare l'equazione della circonferenza. Ciascuna condizione determina un'equazione in cui le incognite sono a,b,c.
Ecco elencate le condizioni :
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condizione nota |
relazione da utilizzare |
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un punto della circonferenza |
condizione di appartenenza |
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coordinata del centro |
α=-2a oppure β=-2b |
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raggio |
r2=a2+b2-4c |
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retta che contiene il centro |
si applica la condizione di appartenenza del centro (-a/2;-b/2) all'equazione della retta nota |
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tangente e punto di tangenza |
equivale a due condizioni, l'appartenenza del punto di tangente e la retta passante per il centro che è perpendicolare alla tangente per il punto noto |
La circonferenza è il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto fisso detto centro.
La distanza prende il nome di raggio.
Consideriamo una circonferenza avente il centro nel punto C(α,β) e raggio r.
Il punto P appartiene alla circonferenza se CP=r, cioè se la sua distanza dal centro è uguale al raggio.
Quindi
CP2=r2
cioè
(x-α)2+(y-β)2=r2
x2-2αx+α2+y2-2βx+β2=r2
di conseguenza l'equazione generica è
x2+y2+ax+by+c=0
dove
L'equazione della circonferenza dipende dai tre parametri a,b,c, infatti una circonferenza si può determinare conoscendo tre punti non allineati.
Pertanto occorrono tre condizioni per determinare l'equazione della circonferenza. Il centro fornisce due condizioni, infatti le coordinate permettono di trovare i coefficienti a e b.