I limiti notevoli

I limiti notevoli sono particolari limiti che si presentano frequentemente e che permettono di risolvere forme indeterminate di altri limiti.

I più usati sono:

1)	=1
2)
3)
4)
5)

Limite 1

limite per x che tende a zero di sen x su x =1

senx su x

Dalla figura osserviamo che disuguaglianza poiche il segmento PH è minore dell'arco x . Dividendo i termini per sen x si ottiene

CodeCogsEqn (29)

semplificando

CodeCogsEqn (31)

invertendo i termini della disuguaglianza

CodeCogsEqn (33)

Sia il primo che il terzo termine tendono a 1 , pertanto si ha

limite per x che tende a zero di sen x su x =1

Limite 2

limite x che tende a infinito

Si definiscono le due successioni

La successione an è crescente, per mostrarlo si scrive nella forma

nepero

quindi

per la disuguaglianza di Bernoulli (1+x)n>1+nx al numeratore

Analogamente si mostra che bn è decrescente.

an<bn infatti

poichè b1=4 e bn è decrescente an è sicuramente minore di 4, quindi essendo limitata superiormente e crescente avrà sicuramente un limite a cui si attribuisce il simbolo e ed è chiamato numero di Nepero, ha il valore pari a 2,7188.

Si osservi che anche la successione bn tende ad e infatti

Dimostriamo ora che

supponiamo che n=[x] siala parte intera di x

vale la seguente disuguaglianza

La prima parte della disuguaglianza deriva dal fatto che [x]+1>x e si trova al denominatore, mentre la seconda scaturisce dal fatto che [x]<x sempre al denminatore, menrtre l'esponente [x]+1>x e la base è maggiore di uno.

il primo membro della disuguaglianza tende ad e infatti il numeratore tende ad e mentre il denominatore tende a 1, il terzo membrio è proprio che tende ad e

Pertanto per il teorema del confronto limite x che tende a infinito

Limite 3

Per dimostrare questo limite basta porre y=1/x, pertanto quando x→0 y→∞ si ottiene proprio il limite che definisce il numero e

Limite 4

Basta fare il log_a della funzione del limite 3

Limite 5

poniamo

limite notevole ..

quando x→0 allora y→0

CodeCogsEqn (42)

pertanto