La tangente geometrica ha in comune con la parabola due punti coincidenti e appartiene al fascio proprio di rette per il punto P(x0;y0).
Per determinare la tangente occorre determinare il coefficiente angolare m . Si consideri una parabola di equazione y=ax2+bx+c e una retta generica del fascio di rette per P y-y0=m(x-x0)
Per trovare i punti in comune occorre risolvere il sistema formato dalle due equazioni
sostituendo la y della prima equazione nella seconda, si ottiene un'equazione parametrica, bisogna trovare il valore di m che annulla il discriminante
siccome P(x0;y0) soddisfa la condizione di appartenenza vale la seguente uguaglianza
pertanto
sostituendo c-y0 si ottiene
si calcola il discriminante, tenendo presente che A=a, B=b.m,
e
siccome la retta è tangente deve avere due soluzioni coincidenti, ciò avviene se Δ=0 quindi
m-2ax0-b=0 ⇒m=2ax0+b
L'equazione della parabola dipende da tre parametri a,b,c, pertanto occorre trovare tre codizioni indipendenti per determinarla.
Per trovare a,b,c si risolve il sistema formato dalle tre equazioni determinate dalle tre condizioni.
In certi casi le condizioni danno luogo ad equazioni di secondo grado
Condizione nota |
Come si applica |
Appartenenza alla parabola |
condizione di appartenenza |
ascissa del fuoco o vertice |
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ordinata del fuoco |
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equazione direttrice y=d |
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equazione dell'asse x=α |
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vertice |
corrisponde a due condizioni
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tangente e punto di tangenza |
corrisponde due condizioni:
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Siano P(x;y), F(α;β) e la direttrice y=d, pertanto il punto H(x;d) in quanto ha la stessa ascissa di P e ordinata d in quanto appartiene alla direttrice.
Poichè P appartiene alla parabola PH2=PF2 ,
l'equazione della parabola diventa
Definizione:La parabola è il luogo geometrico dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto fisso detto fuoco ed una retta fissa detta direttrice.
La retta passante per il fuoco perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
Questa retta è un'asse di simmetria per la figura.
Il punto di intersezione fra l'asse della parabola e la direttrice prende il nome di vertice della parabola.
Se il fuoco si trova sopra la direttrice allora la parabola si dice che ha la concavità verso l'alto, diversamente jha la concavità verso il basso.
