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Derivate delle funzioni elementari

 f(x) f'(x) 
 c  0
 xn  nxn-1
 sen x cos x 
cos x -sen x
ex ex
ln x CodeCogsEqn (44)
arctgx CodeCogsEqn (45)

Dimostrazioni

Costante

funzione costante y=c y'=0

 f(x0+h)=c, f(x0)=c pertanto il rapporto incrementale è sempre zero Si può spiegare questo risultat utilizzando la proprietà geometica di derivata in un punto. Infatti il coefficiente angolare di una retta è la derivata in tutti i suoi punti, in questo caso vale zero 

Potenza

y=xy'=xn-1

per n naturale si dimostra per induzione

infatti è vero per n=0 in quanto  y=1 e y'=0

se è valida per un certo n, cioè se y=xn e  y'=nxn-1

allora per y=xn+1 occorre dimostrare che y'=(n+1)•xn  

y=xn+1 puo essere derivato con la regola del prodotto cioè y=xn•x

per cui y'=nxn-1•x +xn•1=nxn +xn=(n+1)•xn  

Si puo far vedere che se n è reale vale la stessa formula

 

Seno

Si parte dalla definizione di derivata in x0

si utilizzano le regole di prostaferesi

CodeCogsEqn (53)

CodeCogsEqn (48)

ma        CodeCogsEqn (50) e        CodeCogsEqn (51)

pertanto il limite e di conseguenza la derivata vale cos(x0)

Coseno

Si parte dalla definizione di derivata in x0

si utilizzano le regole di prostaferesi

CodeCogsEqn (54)CodeCogsEqn (55)

Logaritmo

CodeCogsEqn (58)

CodeCogsEqn (59)

CodeCogsEqn (61)

 

ex

CodeCogsEqn (57)

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Categoria: Le derivate
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