Ipotesi: ABC è un triangolo
Tesi: AB+AC>AC
Dato il triangolo ABC, prolunghiamo il lato AB di un segmento AD congruente ad AC
in quanto l'angolo BCD contiene DCA che è congruente a BDC poichè sono angoli alla base di un triangolo isoscele.
Quindi BD= AB+AD=AB+AC > BC in quanto lati opposti nel triangolo ABD.
Dimostrazione: dimostriamo il teorma per assurdo, ipotizziamo che la tesi sia falsa, cioè che AC<AB.
Ma se cosi fosse β sarebbe minore di α ma questo contraddice l'ipotesi. Pertanto la tesi è vera
Ipotesi: ABC è un trianglo qualunque
Tesi:
Consideriamo il punto medio D del lato AC, si FD il prolungamento del segmento BD ad esso equivalente.
I triangoli BDC e CDF sono equivalenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati congruenti e l'angolo fra essi compreso.
Di conseguenza . Quest'ultimo angolo è una parte dell'angolo esterno pertanto
da cui si ottiene la tesi.
Allo stesso modo si può dimostrare che anche l'altro angolo intero non adiacente è minore dell'angolo esterno.
Sia D tale che pertanto il triangolo ACD è isoscele e gli angoli alla base sono congruenti. L'angolo CDA è esteno al triangolo DCB, quindi per il teorema dell'angolo esterno è maggiore dell'angolo CBA. Valgono quindi le seguenti relazioni da cui si deduce la verità della tesi
Video sulle disuguaglianze fra elementi di un triangolo