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Mentre oggi le parole di assioma e postulato sono dei sinonimi, Euclide nei suoi Elementi individua cinque assiomi che riguardano nozioni comuni e cinque postulati che riguardano la geometria

Gli assiomi sono proprietà che non devono essere dimostrate, essi esprimono le relazioni esistenti fra gli enti primitivi.

 Essi devono essere:

Gli Assiomi della geometria euclidea si possono raggruppare in: 

Assiomi di appartenenza

Assiomi di appartenenza

Riguardano le relazioni fra punti, rette e piani.

  1. Ad ogni coppia di punti passa una ed una sola retta;
  2. per ogni retta del piano esistono almeno due punti A e B che le appartiene ed almeno un punto C che non le appartiene;
  3. per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano;
  4. se una retta ha in comune con un piano due punti, allora tutti i punti della retta appartengono al piano:

Assioma d’ordine

Assioma d’ordine

Nella retta r si possono stabilire due ordinamenti totali, l'uno opposto all'altro. Cioè dati due punti A e B è possibile stabilire se A precede B o viceversa.Ognuno dei due ordinamenti è tale che: tra due punti distinti qualunque A, B appartenenti a r vi è sempre un punto C appartenente a r, che sta fra A e B. preso un qualunque punto C appartenente a r, esistono due punti A, B appartenenti a r tali che C sta fra A e B

 

Assioma di partizione del piano

 Assioma di partizione del piano

Considerata una retta qualsiasi di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni con le seguenti proprietà:
· due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta
· due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca la retta.

Ciascuna di queste due parti si chiama semipiano e la retta origine del semipiano.

Assiomi congruenza

Assiomi congruenza

  • Tutte le rette sono congruenti tra loro.
  • Tutte le semirette sono congruenti tra loro.
  • Tutti i piani sono congruenti tra loro.
  • Tutti i semipiani sono congruenti tra loro.

Assiomi di trasporto

Assioma del trasporto di un segmento.

 Se A, B sono due punti di una retta a e A' è un punto sulla stessa retta (o fissato su un’altra retta a'), si può sempre trovare un punto B' sulla retta a (o su a’), da una data parte rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'.

assioma del trasporto di un segmento

Assiomi della parallela

Data una retta   r   ed un punto    P    che non le appartenga, esiste un’unica retta s   passante per P e ad essa parallela.

assioma delle parallele

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Categoria: Geometria euclidea
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