Mentre oggi le parole di assioma e postulato sono dei sinonimi, Euclide nei suoi Elementi individua cinque assiomi che riguardano nozioni comuni e cinque postulati che riguardano la geometria
Gli assiomi sono proprietà che non devono essere dimostrate, essi esprimono le relazioni esistenti fra gli enti primitivi.
Essi devono essere:
- compatibili, cioè non devono contraddirsi l'un con l'altro
- indipendenti, cioè le proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro.
- possedere il requisito della completezza, ossia tutti i teoremi devono essere dedotti da essi.
Gli Assiomi della geometria euclidea si possono raggruppare in:
Assiomi di appartenenza
Assiomi di appartenenza
Riguardano le relazioni fra punti, rette e piani.
- Ad ogni coppia di punti passa una ed una sola retta;
- per ogni retta del piano esistono almeno due punti A e B che le appartiene ed almeno un punto C che non le appartiene;
- per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano;
- se una retta ha in comune con un piano due punti, allora tutti i punti della retta appartengono al piano:
Assioma d’ordine
Assioma d’ordine
Nella retta r si possono stabilire due ordinamenti totali, l'uno opposto all'altro. Cioè dati due punti A e B è possibile stabilire se A precede B o viceversa.Ognuno dei due ordinamenti è tale che: tra due punti distinti qualunque A, B appartenenti a r vi è sempre un punto C appartenente a r, che sta fra A e B. preso un qualunque punto C appartenente a r, esistono due punti A, B appartenenti a r tali che C sta fra A e B
Assioma di partizione del piano
Assioma di partizione del piano
Considerata una retta qualsiasi di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni con le seguenti proprietà:
· due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta
· due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca la retta.
Ciascuna di queste due parti si chiama semipiano e la retta origine del semipiano.
Assiomi congruenza
Assiomi congruenza
- Tutte le rette sono congruenti tra loro.
- Tutte le semirette sono congruenti tra loro.
- Tutti i piani sono congruenti tra loro.
- Tutti i semipiani sono congruenti tra loro.
Assiomi di trasporto
Assioma del trasporto di un segmento.
Se A, B sono due punti di una retta a e A' è un punto sulla stessa retta (o fissato su un’altra retta a'), si può sempre trovare un punto B' sulla retta a (o su a’), da una data parte rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'.
Assiomi della parallela
Data una retta r ed un punto P che non le appartenga, esiste un’unica retta s passante per P e ad essa parallela.
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