rapporto incrementale

  • Definizione di derivata

     

    Definizione

    Definizione: la funzione f(x) si dice derivabile in x0 se esiste il limite per h->0 del rapporto incrementale in x0. Questo valore si chiama derivata della f(x) in x0

     La derivata prima si indica con f'(x0).

    Pertanto

    definizione di derivata

  • Derivata del prodotto di due funzioni

    Posto h(x)=f(x)*g(x) allora h'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0), a parole la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto fra la derivata della prima funzione per la seconda più la prima funzione per la derivata della seconda.

    facendo il limite per h che tende a zero si ottiene 

    h'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0)

     

  • Derivata del prodotto di due funzioni

  • Derivata del rapporto di due funzioni

  • Derivata del reciproco di una funzione

    La derivata del reciproco di una funzione è

    Per dimostrarlo utilizziamo il rapporto incrementale della funzione reciproca

    facendo tendere h a zero il primo fattore dell'ultima espressione tende a -f'(x0)  il secondo al denominatore tende a f2(x0)

     

  • Derivata della funzione reciproca

    La derivata del reciproco di una funzione è

     

     

    Per dimostrarlo utilizziamo il rapporto incrementale della funzione reciproca

      

     

    facendo tendere h a zero il primo fattore dell'ultima espressione tende a -f'(x0)  il secondo al denominatore tende a f2(x0)

     

  • Derivata della somma di due funzioni

    Supponiamo che le funzioni f(x) e g(x) siamo derivabili in x0, ci proponiamo di trovara la derivata della funzione smma o differenza.

    Vale la seguente regola posto h(x)=f(x)±g(x)

     

    h'(x0)=f'(x0)+g'(x0)

     

    Questa scaturisce dalla proprietà dei limiti. 

    Ricordiamo che la derivata è il limite per h->0 del rapporto incrementale

     

     

    Facendo il passaggio al limite si ottiene la relazione

  • Derivata di una somma o differenza di funzioni

    Supponiamo che le funzioni f(x) e g(x) siamo derivabili in x0, ci proponiamo di trovara la derivata della funzione smma o differenza.

    Vale la seguente regola posto h(x)=f(x)±g(x)

    h'(x0)=f'(x0)+g'(x0)

    Questa scaturisce dalla proprietà dei limiti. 

    Ricordiamo che la derivata è il limite per h->0 del rapporto incrementale

     

     

    Facendo il passaggio al limite si ottiene la relazione

  • Il rapporto incrementale

    Si definisce rapporto incrementale di una funzione nel punto x0 di ampiezza h

    rapporto incrementale

     

    rapporto incremetaleDal punto di vista geometrico il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che unisce i punti di coordinate (x0;f(x0)) e (x0+h;f(x0+h)). Infatti il numeratore rappresenta la variazione delle ordinate, mentre il denominatore la variazione delle ascisse.

     

     

     

     

     

     

     

     

    Rapporto incrementale con geogebra