geogebra

  • Definizione di derivata

     

    Definizione

    Definizione: la funzione f(x) si dice derivabile in x0 se esiste il limite per h->0 del rapporto incrementale in x0. Questo valore si chiama derivata della f(x) in x0

     La derivata prima si indica con f'(x0).

    Pertanto

    definizione di derivata

  • Definizione di limite finito per x che tende ad un infinito

    Definizione.

     Diciamo che il limite è finito per x che tende ad infinito, l in simboli

    limite x tedente ad infinito 

    se comunque si prende ε>0 esiste un I(∞) completo di infinito  cioè un intervallo della forma x>M , in modo tale che per ogni xєI(∞)   si ha:

    | f(x)-l |<ε

    o in maniera equivalente

    l-ε< f(x)< l+ε

    In altre parole la f(x) tende ad l per x tendente ad  ∞, quando scelto un qualunque intorno di l si trova un numero reale M tale che per ogni |x|>M l'immagine cade nell'intorno scelto di l. 

    Analoghe definizioni valgono per x->-, in tal caso per ogni x<-M deve aversi 

    | f(x)-l |<ε

    Definizione con Geogebra

  • Definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito

    Definizione.

    Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale l, in simboli

    limite

    se comunque si prende ε>0 esiste un I(x0) completo del punto di accumulazione x0 in modo tale che per ogni x di I(x0) escluso al più il punto x0 si ha:

    |f(x)-l |< ε

    o in maniera equivalente

    l- ε< f(x)< l+ ε 

    Osservazione la relazione l- ε< f(x)< l+ ε  rappresenta due disuguaglianze

    form1

     

     

    Esempio: verifichiamo che

    lim1

    dobbiamo quindi trovare un intorno completo di 2 in modo tale che per ogni x appartenente a tale intorno si verifica

    1-ε< 3x-5< 1+ε

    si deve risolvere il sistema formato dalle due disequazioni

    form

    verificare che fra le soluzioni di tale  sistema vi sia un intorno completo di 2

    infatti le soluzioni sono

    2 − ε/2 < x < 2 + ε/2

     

    Definizione con Geogebra

  • Il rapporto incrementale

    Si definisce rapporto incrementale di una funzione nel punto x0 di ampiezza h

    rapporto incrementale

     

    rapporto incremetaleDal punto di vista geometrico il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che unisce i punti di coordinate (x0;f(x0)) e (x0+h;f(x0+h)). Infatti il numeratore rappresenta la variazione delle ordinate, mentre il denominatore la variazione delle ascisse.

     

     

     

     

     

     

     

     

    Rapporto incrementale con geogebra

  • Limite infinito per che tende ad un valore finito con Geogebra

  • Risoluzione di una disequazioni di secondo grado

    Risoluzione col metodo grafico

    Supponiamo di dover risolvere la disequazione di secondo grado ax2+bx+c <0,

    Si considera la parabola y=ax2+bx+c , essendo il verso della disequazione minore, la ricerca delle soluzioni è equivalente a trovare sull'asse ascisse, quelle x per i quali le corrispondenti ordinate y=ax2+bx+c dei punti della parabola sono negative. Analoghe considerazioni si fanno se il verso è maggiore.

     

    Occorre quindi rappresentare, non necessariamente in maniera precisa la parabola y=ax2+bx+c

     Le caratteristiche fondamentali che bisogna individuare sono due:

    • la concavità della parabola, che si determina con il segno del coefficiente a del termine di secondo grado.
      • è verso l'alto se a>0;
      • versoil basso se a<0;
    • l'esistenza di eventuali intersezioni con gli assi.
      • due intersezioni distinte se Δ>0;
      • nessuna soluzione se Δ<0;
      • due soluzioni coincidenti se Δ=0.

     

    Per individuare le soluzioni della disequazioe occorre disegnare la parabola sulla base delle precedenti caratteristiche.

    Le soluzioni corrispondono ai valori di x dei punti le cui ordinate hanno un segno che coincide col verso della disequazione.

    La seguente tabella ci permette di distinguere i vari casi.

    Esercizio 1

     

         verso della disequazione--------------->

    >

    <

     D>0 a>0   parab7

    soluzioni per valori esterni

    x<x1 ν  x>x2  

    soluzioni per valori esterni

    xx1 ν  xx2  

     soluzioni per valori interni

    x1<x<x2

    soluzioni per valori interni

    x1xx2

    D>0  a<0   parab6  soluzioni per valori interni

    x1<x<x2 

     soluzioni per valori interni

    x1<x<x2

    soluzioni per valori esterni

    x<x1 ν  x>x2 

    soluzioni per valori esterni

    x≤x1 ν  x≥x2  

     D=0  a>0  delta uguale  x≠x1  sempre verificata  mai verificata x=x1
     D=0 a<0   delta ugaua   mai verificata  x=x1   x≠x1   sempre verificata
    D<0 a>0 parab5  sempre verificata  sempre verificata  mai verificata  mai verificata
    D<0 a<0 delta minore   mai verificata   mai verificata  sempre verificata  sempre verificata

     

     

     

     Metodo grafico con geogebra