equazioni

  • Si vuole ricavare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado completa.

    In primo luogo si trasporta il termine noto c al secondo membro

    ax2+bx=-c

    Si moltiplica per 4a  entrambi i membri, ottenendo:

    4a2x2+4abx=-4ac

    Si osservi che 4a2x2=(2ax)2  e 4abx =2·(2ax)·b

     cioè al primo membro il primo termine  è il quadrato di un monomio, mentre il secondo termine è il doppio prodotto di 2ax e b

    si aggiunge b2 al primo ed al secondo membro in modo da avere al primo membro il quadrato del binomio 2ax+b.

    4a2x2+4abx+b2=b2-4ac cioè (2ax+b)2=b2-4ac.

    Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene

     

     eqsecgradform

    Affinchè le soluzioni siano reali occorre che il radicando non sia negativo.

    Questo radicando b2-4ac si chiama discriminante dell'equazione di secondo grado e si indica con la lettera Δ

    A seconda del valore di Δ si possono presentare tre casi:

    1. Δ>0 le soluzioni sono reali e distinte
    2. Δ=0 soluzioni reali e coincdenti
    3. Δ<0 soluzioni immaginarie

    In determinate situazioni è possibile trovare le soluzioni senza applicare la formula risolutiva.

    Dalla formula risolutiva si deducono le seguenti relazioni:

    1.  la somma delle  soluzioni x1+x2 è uguale a -b/a
    2. il prodotto x1·x2 delle soluzioni è uguale a c/a

    In particolare quando a=1 e le soluzioni sono numeri interi, per trovare le soluzioni si possono utilizzare queste due relazioni.

    Esempio: data l'equazione

       x2-3x-4=0 ha due soluzioni la cui somma vale -b/a=3/1=3 ed il cui prodotto vale c/a=-4/1=-4,

    di conseguenza i due numeri sono 4 e -1 perchè la loro somma vale 3 ed il cui prodotto vale -4

  •  

     Si supponga di dover trovare quel numero il cui quadrato sommato al suo doppio sia uguale a 63.

    Indicato con x il numero cercato, il problema ci conduce a trovare la radice dell'equazione x2+2x=63

    Poiché l'incognita compare con esponente massimo uguale a 2, si tratta di risolvere un'equazione di secondo grado.

    Applicando le proprietà delle equazioniuguaglianze fra due espressioni in cui compare una lettera detta incognita, sono verificate per particolari valori della stessaè sempre possibile ricondurre un'equazione di secondo grado nella cosìdetta forma normale

    Ax2+Bx+C=0