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    Sposta il cursore per vedere come cambia la concavita, puoi zoomare con il pulsante del mouse

    La retta rappresenta la tangente alla curva, Quando il suo colore è verde la concavità è verso il basso perche  nell'intorno del punto P  la tangente si trova sopra la curva. 

    Se il colore è rossola concavità è verso l'alto.

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    Sposta i tasti freccia oppure il tasto a destra per avanzare in automatico, modificando eventualmente la pausa

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  • Posto h(x)=f(x)*g(x) allora h'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0), a parole la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto fra la derivata della prima funzione per la seconda più la prima funzione per la derivata della seconda.

    facendo il limite per h che tende a zero si ottiene 

    h'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0)

     

  • La derivata del reciproco di una funzione è

     

     

    Per dimostrarlo utilizziamo il rapporto incrementale della funzione reciproca

      

     

    facendo tendere h a zero il primo fattore dell'ultima espressione tende a -f'(x0)  il secondo al denominatore tende a f2(x0)

     

  • Supponiamo che le funzioni f(x) e g(x) siamo derivabili in x0, ci proponiamo di trovara la derivata della funzione smma o differenza.

    Vale la seguente regola posto h(x)=f(x)±g(x)

    h'(x0)=f'(x0)+g'(x0)

    Questa scaturisce dalla proprietà dei limiti. 

    Ricordiamo che la derivata è il limite per h->0 del rapporto incrementale

    Video sulla derivata della somma e della differenza

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    Modifica i valori di a, , c

  • Utente 0 IL tuo gruppo è:9

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  • Consideriamo l ’uguaglianza b=an, dove a e n sono noti. Sappiamo che questa è l’operazione di potenza.

    Inversamente, nota la potenza b è possibile determinare la base a nel caso si conosca l’esponente n, sia l’esponente n nel caso si conosca la base

    Quindi all’operazione di elevamento di potenza corrispondono due operazioni inverse.

    Data il numero b e l’esponente n, la ricerca della base a definisce l’operazione di estrazione di radice che si indica con

     

    Pertanto la radice ennesima è quel numero che elevato per l'indice della radice è uguale all'esponente consiste nella ricerca di quel numero a che elevato alla n-esima potenza dia b per risultato.

    Il numero b si chiama radicando, n indice della radice si chiama radice ennesima di b

     

    Video sulla definizione di radicali

     

     

  • Immagine di Euclide

    I greci per primi spiegarono con ragionamenti le proprietà delle figure geometriche, andando oltre l'intuizione, a differenza degli egizi.

    Euclide per primo cercò di mettere ordine alle conoscenze fino ad allora acquisite con gli "Elementi", che costituiscono il punto di partenza per l'insegnamento elementare della geometria. 

    Gli assiomi o postulati, attribuiscono proprietà, che per la loro evidenza supponiamo essere vere e che caratterizzano gli enti primitivi dandone una definizione esplicita.

     Introduzione

     

    Si ottengono diversi tipi di geometria come conseguenza delle scelte fatte sugli assiomi. 

    All'interno di una stesso tipo di geometria alcune proprietà degli enti primitivi sono tali che assumendo una di esse come assioma le altre risultano come conseguenza e viceversa, si dice in questo caso che gli assiomi sono equivalenti. 

    Gli assiomi scelti non devono contraddirsi tra loro e non devono essere uno conseguenza logica dell'altro.

    Si possono costruire geometrie che non accettano alcuni assiomi della geometria euclidea e per questo sono dette geometrie non euclidee. 

     

    La geometria iperbolica

    Il punto di partenza che ha determinato la nascita delle geometrie non euclidee è stato il postulato delle parallele.Esso afferma che per un punto A non appartenente ad un retta r passa una ed una sola retta r' parallela alla retta r. Occorre sottolineare che questo postulato, noto anche come quinto postulato, è negli elementi di Euclide espresso in una forma equivalente.Questo postulato non era evidente come gli altri, pertanto molti matematici pensarono di poterlo ricavare dagli altri, ma tutti i tentativi si rivelarono infruttuosi. Finché verso il 1730 i matematici Saccheri e Lambert affrontarono il problema in maniera differente, cioè negarono per assurdo la validità del postulato delle parallele ottenendo tutta una serie di conseguenze  molto diverse dai teoremi classici.Per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo non risulterebbe mai uguale ad un angolo piatto.In ogni caso nessuna di queste proposizioni contraddice uno dei teoremi della geometria euclidea  che non dipendono da questo postulato.Si è costruito pertanto un sistema logico-formale perfettamente coerente.La negazione del quinto postulato può essere fatta ammettendo uno dei seguenti postulati:

    non esiste nessuna parallela per il punto esterno alla  retta;esistono più di una retta per il punto esterno.

    Una geometria di questo tipo prende il nome di geometria iperbolica di Lobacevskij dal nome del matematico russo che per primo la assiomatizzò

     

    La geometria ellittica

    Verso la prima metà del 1800 il matematicoB.Riemann costruì un modello di geometria non euclidea sostituendo il V postulato euclideo con il precedente postulato a .Riemann assunse come enti primitivi:

    il piano costituito  da una qualunque superficie sferica;il punto costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica; la retta costituita da una qualunque circonferenza massima.E' facile verificare che per questo modello valgono i postulati della geometria euclidea ad eccezione del V postulato di Euclide per chè sostituito dal postulato A.Infatti:

    Per due punti passa una ed una retta :              

    Per un punto passano infinite rette , nella geometria di Riemann significa che per due punti (C,D) diametralmente opposti passano infinite circonferenze massime; geometria riemanna 2

    Nella geometria di Riemann il V postulato diventa: non esiste alcuna retta r' (circonferenza massima) passante per un punto (coppia di punti (A,B) diametralmente opposti) parallela ad una retta r (circonferenza massima). Infatti due rette (circonferenze massime) si incontrano in un punto ( coppia di punti C e D diametralmente opposti)

    Stabiliti un certo numero di assiomi, si deducono mediante ragionamenti altre proprietà. 

    La scelta degli assiomi è fatto con una certa libertà, fermo restando che devono essere soddisfatti alcuni requisiti.

    Risorse

    Link utili:

    Un approccio elementare alla geometria non euclidea

    Le geometrie none uclidee

    Polymath

    Video

     

  • Teorema: Se due triangoli hanno congruenti rispettivamente tre  lati  allora sono congruenti.

     

                Ipotesi                                      Tesi
                                                   

    Dimostrazione: poichè  esiste un movimento rigido che sovvrappone AB con A'B', viene fatta una simmetria rispetto ad AB, il punto C finisce dalla parte opposta di C' rispetto ad AB.

    I triangoli della figura sottostante sono acutangoli, ma i ragionamenti che si faranno si adattano anche al caso dei triangoli ottusangoli.La figura sottostante è uOra si deve dimostrare che i due triangoli della figura sottostante sono congruenti.

    Si noti che i triangoli di questa figura sono acuti, stesso considerazioni ch

    Il triangolo A'CC' è isoscele quindi per  {modal /geometria/geometria-euclidea/91-i-triangoli/262-il-teorema-del-triangolo-isoscele}il teorema del triangolo isoscele{/modal} gli angoli alla base CC' sono congruenti, stesso discorso vale per il triangolo B'CC', anche in questo caso gli angoli alla base sono congruenti. pertanto gli angoli in C e C' essendo somma di angolicongruenti sono congruenti.

    Di conseguenza i due triangoli ABC e A'B'C' hanno almeno due lati congruenti e l'angolo fra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza sono congruenti

    terzo criterio
     

    In questo movimento rigido poichè  il  punto B si sovrappone a B'. Allo stesso modo poichè  il punto C si sovrappone al punto C'.

    Pertanto i tre vertici si sovrappongono e quidi i due triangoli sono congruenti.