Infiniti e infinitesimi

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Diciamo che una funzione presenta in x0 un infinito se 

 

 

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Date due funzioni f(x) che possiedono un infinito in x0, possono presentarsi quattro situazioni differenti

  1. f(x) è un infinitesimo di ordine superiore se   

  2. f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x)

  3. f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine se

  4. f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili se non esiste il limite del rapporto

In altre parole una funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore in x0  rispetto ad una funzione g(x) se tende più rapidamente  a zero

Per esempio la funzione f(x)=x2     è un infinito di ordine  superiore in 0 rispetto a g(x)=x

 

 

Sia  f(x) è un infinitesimo in x0, diciamo che f(x) è un infinitesimo di ordine α rispetto ad un'infinitesimo g(x) preso come riferimento, detto infinitesimo campione, se

In genere si utilizza come infinitesimo campione in x0 finito la funzione 

mentre per x->∞ si considera la funzione

g(x)=1/x.

Se f(x) è un infinitesimo di ordine α dla f(x) , poichè

si puo scrivere come

dove h(x) è un infinitesimo di ordine superiore

si chiama parte principale,  mentre h(x) è un infinitesimo d'ordine superiore

 

 

 

 

 

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Date due funzioni f(x) che possiedono un infinito in x0, possono presentarsi quattro situazioni differenti

  1. f(x) è un infinito di ordine superiore se   

  2. f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x)

  3. f(x) è un infinito dello stesso ordine se

  4. f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili se non esiste il limite del rapporto

In altre parole una funzione f(x) è un infinito di ordine superiore in x0  rispetto ad una funzione g(x) se tende ad infinito più rapidamente ad infinito.

Per esempio la funzione

è un infinito di ordine  superiore in 0 rispetto a

perchè  

Quando una funzione è la somma algebrica di infiniti, si possono trascurare gli infiniti di ordine superiore.

ma x3 è un infinito che prevale sugli altri termini pertanto il segno del limite sarà + 

Sia  f(x) è un infinito in x0, diciamo che f(x) è un infinito di ordine α rispetto ad un'infinito g(x) preso come riferimento, detto infinito campione, se

 

In genere si utilizza come infinito campione in x0 finito la funzione 

 

mentre per x->∞ si considera la funzione g(x)=x.

Se f(x) è un infinito di ordine α dla f(x) , poichè

si puo scrivere come

dove h(x) è un infinito di ordine inferiore

l

si chiama parte principale,  mentre h(x) è un infinito d'ordine inferiore

 

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Diciamo che una funzione presenta in x0 un infinito se 

 

 

 

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