Se la funzione f(x) per x che tende ad x0 tende ad l diverso da zero allora esiste un intorno completo I di x0 escluso al più x0, in cui la funzione assume lo stesso segno di l.

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cui

se l<0   l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0

se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0

Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x0

 

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