Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni lineari è costituito da più equazioni con diverse incognite che compaiono tutte con gradi uno.

Def.Si chiama soluzione di un sistema di equazioni la coppia ordinata di numeri che sostituita al posto delle incognite verifica entrambe le equazioni.

Due sistemi che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti

Un sistema di equazioni è scritta a forma normale se in ogni equazione le incognite compaiono nello stesso ordine al primo membro, mentre i termini senza incognita (termini noti) sono scritti al secondo membro, in ogni caso si può sempre scrivere a forma normale trasportando i termini con le incognite al primo membro gli altri al secondo.

 

Per ricavare le soluzioni di una equazione 5x+6y-=0 occorre isolare ( o esplicitare) una delle due incognite, come se l'altra incognita fosse un numero.

 

Per esempio isolando la y si ottiene y=(-5x+9)/6, pertanto attribuendo un valore arbitrario alla x si ricava il corrispondente valore della y, quindi se x=1 allora y=(-5*1+9)/6=2/3. La coppia (1,2/3) sarà una soluzione del sistema.Poichè la x viene scelta in infiniti modi infinite saranno le soluzioni.Si costruisce una tabella con due colonne, nella prima scegliamo in maniera arbitraria i valori della x, nell'altra il corrispondente valore della y 

 

Un sistema di equazioni lineari può essere risolto con diversi metodi.

 

x y soluzione dell'equazione
grafico1
-3
(-5*(-3)+9)/6= 4
A(-3,4)
-2
(-5*(-2)+9)/6= 19/6
B(-2,19/6)
-1
(-5*(-1)+9)/6= 7/3
C(-1,7/3)
0
(-5*(0)+9)/6= 3/2
D(0,3/2)
1
(-5*1+9)/6= 2/3
G(1,2/3)

Si può giungere alle stesse conclusioni esplicitando rispetto alla x e scegliendo in maniera arbitraria i valori della y.

Risoluzione di un sistema Risoluzione di un sistema col col metodo di Cramer

 

Per risolvere un sistema di equazioni col metodo di Cramer occorre prima di tutto scrivere il sistema a forma normale, cioè al primo membr devono comparire nelle stesso ordine i termini con le incognite, a secondo membro i termini noti.

Sistema a forma normale

Si costruiscono quindi i determinanti delle matrici dei coefficienti delle incognite

delta

Si ottiene moltiplicando in croce gli elementi dela matrice.

Si calcola il detrrminante della matrice ottenuta dalla precedente sostituendo al prima colonna, cioè quella dei coefficienti delle x, con la colonna dei termini noti.

delta y

Poi il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla colonna dei coefficienti delle y, con la colonna dei termini noti.

x uguale delta x fratto delta

e

y uguale a delta y fratto delta

Se D≠0 allora abbiamo una soluzione ed il sistema si dice determinato.
Se D=0, Dx≠0 e Dy≠0 il sistema non ammette soluzioni e si dice impossibile.

Se D=0, Dx=0 e Dy=0 il sistema ammette infinite soluzioni e si dice indeterminato
.

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Col metodo si sostituzione occorre isolare una incognita in una delle due equazioni, sostituirla nell'altra equazione, che quindi diventa con una sola incognita.

 

Si risolve rispetto a questa incognita, il valore ottenuto si sostituisce nell'altra.

 

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Per risolvere un sistema col metodo di addizione o sottrazione occorre scriverlo a forma normale,

Poi bisogna fare in modo che i coefficienti di una incognita siano uguali od opposti.

Se non lo sono occorre moltiplicare i membri delle due equazioni per opportuni numeri.

Per esempio se vogliamo eliminare le x dobbiamo cercare il m.c.m. fra i coefficienti delle x. Pertanto occorre moltiplicare la prima equazione 

 per il rapporto fra il m.c.m trovato ed il coefficiente della x, eventualmente cambiando il segno. Stessa ragionamento per la seconda equazione.

In questo modo i coefficienti delle x nelle due equazioni sono uguali od opposti.

Nel primo caso dobbiamo sottrarre membro a membro le due equazioni. Diversamente occorre sommare membro a membro. In questo modo l'incognita x si elimina.

S può ricavare l'incognita y. Poi per sostituzione si ricava anche la x.

 

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Le soluzioni possono essere viste come le coordinate di punti nel piano cartesiano. Dalla figura seguente si vede che esse sono i punti A,B,C,D,E,F,G appartenenti ad una retta.

Se le rette che rappresentano le due equazioni sono parallele allora non vi saranno soluzioni, se invece le due rette sono coincidenti allora si hanno infinite soluzioni. Pertanto si possono presentare tre distinti casi:

soluzioni tipo di sistema
una determinato
infinite indeterminato
nessuna impossibile

Nel caso in cui il sistema sia determinato allora le coordinate del punto di intersezione fra le rette aventi per equazioni quelle del sistema rappresentano la soluzione.

Un'equazione con due incognite rappresenta una retta nel piano cartesiano, le soluzioni sono coordinate dei punti della retta.Si vuole ora determinare quella coppia di numeri la cui somma sia 25 e la cui differenza sia 13.

Il problema si risolve impostando due equazioni con due incognite.

{x+y=25x−y=13

 le coppie di numeri andranno quindi cercate fra quelle che sono soluzioni di entrambe le equazioni.Poichè graficamente ciascuna equazione rappresenta una retta nel piano cartesiano, la coppia di numeri cercata è data dalle coordinate del punto di intersezione delle due rette.