Si vuole ricavare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado completa.

In primo luogo si trasporta il termine noto c al secondo membro

ax2+bx=-c

Si moltiplica per 4a  entrambi i membri, ottenendo:

4a2x2+4abx=-4ac

Si osservi che 4a2x2=(2ax)2  e 4abx =2·(2ax)·b

 cioè al primo membro il primo termine  è il quadrato di un monomio, mentre il secondo termine è il doppio prodotto di 2ax e b

si aggiunge b2 al primo ed al secondo membro in modo da avere al primo membro il quadrato del binomio 2ax+b.

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac cioè (2ax+b)2=b2-4ac.

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene

 

 eqsecgradform

Affinchè le soluzioni siano reali occorre che il radicando non sia negativo.

Questo radicando b2-4ac si chiama discriminante dell'equazione di secondo grado e si indica con la lettera Δ

A seconda del valore di Δ si possono presentare tre casi:

  1. Δ>0 le soluzioni sono reali e distinte
  2. Δ=0 soluzioni reali e coincdenti
  3. Δ<0 soluzioni immaginarie

In determinate situazioni è possibile trovare le soluzioni senza applicare la formula risolutiva.

Dalla formula risolutiva si deducono le seguenti relazioni:

  1.  la somma delle  soluzioni x1+x2 è uguale a -b/a
  2. il prodotto x1·x2 delle soluzioni è uguale a c/a

In particolare quando a=1 e le soluzioni sono numeri interi, per trovare le soluzioni si possono utilizzare queste due relazioni.

Esempio: data l'equazione

   x2-3x-4=0 ha due soluzioni la cui somma vale -b/a=3/1=3 ed il cui prodotto vale c/a=-4/1=-4,

di conseguenza i due numeri sono 4 e -1 perchè la loro somma vale 3 ed il cui prodotto vale -4

 

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