La regola di Ruffini permette di calcolare quoziente e resto della la divisione tra due polinomi quando il divisore è un binomio di primo grado che ha il coefficiente del termine di primo grado unitario.

Esempi in cui si può applicare direttamente la regola di Ruffini:

(x3-5x+7):(x-3)

(2x3-3x7+7):(x-3)

Se il coefficiente del termine di primo grado unitario non è unitario allora si deve dividere sia il dividendo che il divisore per il suddetto coefficiente in modo tale che diventi unitario.

Esempi in cui si può applicare la regola di Ruffini dividendo per il coefficiente del termine di primo grado sia il dividendo che il divisore :

(5x3-5x2+7):(3x-7)

(-7x4-3x7+7):(5x-3)

Esempi in cui non si può applicare mai la regola di Ruffini

(3x5-11x2+9):(5x4-x2+7)

il divisore non è di primo grado ma di quarto grado

(-8x4-2x4+7):(x2+3)

il divisore non è di primo grado ma di secondo gradoProcedimento:

Eseguiamo la seguente la divisione

(x3-5x+7):(x-3)

In primo luogo completare ed ordinare il dividendo ed il divisore, cosa che si sempre fare ponendo uguale a zero il coefficiente dei termini relativi ai gradi mancanti. La divisione si riscrive nella forma (x3 +0x2-5x+7):(x-3)

1) Si costruisce una tabella formata da due linee verticali e di una orizzontale. Sulla riga in alto si scrivono i coefficienti polinomio dividendo ordinato e completato In basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore cambiato di segno, in questo caso 3

2) il primo coefficiente (in questo caso"1") si riscrive nella stessa colonna  sotto la linea orizzontale

3)si moltiplica il numero 1 per il numero 3 a sinistra, il risultato si scrive sopra la linea orizzontale nella colonna che contiene lo 0

4) si sommano i numeri 0 e 3 della seconda colonna, il risultato si scrive nella stessa colonna sotto la linea orizzontale

5) si moltiplica il numero 3 in basso per il numero 3 a sinistra, il risultato si scrive sopra la linea orizzontale nella colonna che contiene -5, in pratica si ripete il passo 3

                                 
     

        

                

1) Si costruisce una tabella formata da due linee verticali e da una orizzontale

Sulla riga in alto si scrivono i coefficienti del polinomio ordinato tenendo separato il termine noto .

In bassa a sinistra si scrive il termine noto del divisore cambiato di segno (in questo caso "3" e si riscrive nella riga in basso a sinistra

2)il primo coefficiente (in questo caso "1") si riscrive nella stessa colonna sotto la linea orizzontale

3) si moltiplica il primo numero della riga in basso per il termine noto del  divisore cambiato di segno, il risultato si scrive nella seconda colonna

   nella riga in basso

4) Si sommano i numeri della seconda colonna, il risultato si scrive nella stessa colonna sotto la linea orizzontale, si ottiene "3"

5) il numero ottenuto "3" si moltiplica per il termine noto cambiato si segno "3", che si trova in basso a sinistra,

  il risultato si scrive nella riga in basso;

si continua con lo stesso procedimento fino alla colonna di destra.

I numeri della riga i basso compresi fra le linee verticali sono i coefficienti del polinomio quoziente, che deve avere sempre un grado in meno del grado del dividendo.

Pertanto il quoziente di secondo grado è x2+3x+4.

Il numero in basso a destra "19" rappresenta il resto.